数值并行求解器与算法的深入剖析

### 数值并行求解器与算法的深入剖析 在科学计算领域，求解各类复杂的数学模型是一项关键任务。本文将聚焦于数值并行求解器以及并行数值算法，深入探讨它们在不同场景下的应用和性能表现。 #### 1. 并行求解器相关内容 在数值上采样的并行求解器方面，有多种方法和技术可供选择。 ##### 1.1 预处理技术 有一种Galerkin矩阵，它在粗空间上具有独特的优势。由于它保留了规则的网格模式，并且仅通过对矩阵组件求和来计算，因此构建成本较低，预处理阶段也较为经济。粗网格问题通过内部CG迭代求解，使用较低的精度（如ε = 0.01），并采用位移分解 - 不完全分解预处理技术。 Trilinos的ML包提供了构建混合类型多级Schwarz预处理器的可能性。其平滑器采用一级Schwarz方法，粗空间校正以乘法方式添加。这两个步骤提供了非对称预处理器，可直接使用，也可通过添加第三个后平滑步骤进行对称化。在ML中，粗空间通过平滑聚合创建。以下是相关参数设置的代码示例： ```cpp ML_Epetra::MultiLevelPreconditioner *MLDD = 0; Teuchos::ParameterList DD_List; ML_Epetra::SetDefaults( "DD", DD_List ); DD_List.set( "max levels", 10 ); DD_List.set( "aggregation: type", "MIS" ); // default: METIS DD_List.set( "aggregation: nodes per aggregate", 128 ); if( NullSpaceActivated ) { DD_List.set( "null space: type", "pre-computed" ); DD_List.set( "null space: dimension", v->NumVectors() ); DD_List.set( "null space: vectors", v->Values() ); } MLDD = new ML_Epetra::MultiLevelPreconditioner( *A, DD_List, true ); ``` 同时，Trilinos的ML包还允许构建基于平滑聚合和不同平滑器的多级预处理器。以下是用于比较多级技术的一些默认参数设置代码： ```cpp ML_Epetra::MultiLevelPreconditioner *ML = 0; Teuchos::ParameterList ML_List; ML_Epetra::SetDefaults( "SA", ML_List ); ML_List.set("smoother:type(level0)","Chebyshev" ); ML_List.set("smoother:type(level1)","symmetricGauss-Seidel" ); ML_List.set("coarse: max size", 8192 ); if( NullSpaceActivated ) { ML_List.set( "null space: type", "pre-computed" ); ML_List.set( "null space: dimension", v->NumVectors() ); ML_List.set( "null space: vectors", v->Values() ); } ML = new ML_Epetra::MultiLevelPreconditioner( *A, ML_List, true ); ``` ##### 1.2 奇异系统的迭代求解 在求解与纯Neumann边界条件的弹性问题有限元离散化对应的奇异系统时，理论上使用CG等方法求解奇异且一致的系统没有问题。但在实际中，由于舍入误差，求解的系统可能会出现病态情况，或者变得稍微不一致，导致迭代收敛性差甚至发散。 解决方法是使用投影到理论范围R(A)，如果知道理论零空间N(A)的基，就可以构建该投影。对于弹性问题，这样的基可以由六个刚体模式{v1, ..., v6}构建，投影P : Rn →R(A)可以通过以下公式计算： \[Pv = \sum_{i=1}^{6}\frac{(v, v_i)}{(v_i, v_i)}v_i\] 借助P，我们可以求解投影系统PAPu = Pb。 在实际应用中，还可能遇到另一种奇异性，即来自复杂微观结构CT扫描的有限元离散化中的弱悬挂元素。这种奇异性可以通过用人工的、非常软的材料填充空隙来有效消除。