并行数值求解器与算法：从岩土工程到生物系统的应用

### 并行数值求解器与算法：从岩土工程到生物系统的应用 #### 1. 数值向上缩放的并行求解器 在数值向上缩放的研究中，涉及到多种并行求解器和预处理技术。 ##### 1.1 GEM 两级加法 Schwarz 预处理器 存在一个粗空间上的 Galerkin 矩阵，其构建成本较低，因为它保留了规则的网格模式，仅通过对矩阵组件求和来计算，所以预处理阶段成本不高。粗网格问题通过内部共轭梯度（CG）迭代求解，使用较低的精度（如 ε = 0.01），并采用位移分解 - 不完全因式分解预处理技术。内部迭代的使用使得 B 成为可变预处理器，可通过显式正交化稳定外部迭代。 ##### 1.2 Trilinos 的 ML 包构建预处理器 Trilinos 的 ML 包提供了构建多级 Schwarz 预处理器的可能性： - **混合类型多级 Schwarz 预处理器（ML - DD）**： ```cpp ML_Epetra::MultiLevelPreconditioner *MLDD = 0; Teuchos::ParameterList DD_List; ML_Epetra::SetDefaults( "DD", DD_List ); DD_List.set( "max levels", 10 ); DD_List.set( "aggregation: type", "MIS" ); // default: METIS DD_List.set( "aggregation: nodes per aggregate", 128 ); if( NullSpaceActivated ) { DD_List.set( "null space: type", "pre - computed" ); DD_List.set( "null space: dimension", v->NumVectors() ); DD_List.set( "null space: vectors", v->Values() ); } MLDD = new ML_Epetra::MultiLevelPreconditioner( *A, DD_List, true ); ``` - **基于平滑聚合和不同平滑器的多级预处理器（ML）**： ```cpp ML_Epetra::MultiLevelPreconditioner *ML = 0; Teuchos::ParameterList ML_List; ML_Epetra::SetDefaults( "SA", ML_List ); ML_List.set("smoother:type(level0)","Chebyshev" ); ML_List.set("smoother:type(level1)","symmetricGauss - Seidel" ); ML_List.set("coarse: max size", 8192 ); if( NullSpaceActivated ) { ML_List.set( "null space: type", "pre - computed" ); ML_List.set( "null space: dimension", v->NumVectors() ); ML_List.set( "null space: vectors", v->Values() ); } ML = new ML_Epetra::MultiLevelPreconditioner( *A, ML_List, true ); ``` ##### 1.3 奇异系统的迭代求解 在求解与纯 Neumann 边界条件下弹性问题的有限元离散化对应的奇异系统时，理论上用 CG 等方法求解奇异且一致的系统没问题，但实际中由于舍入误差，系统可能病态或不一致，导致迭代收敛性差甚至发散。此时可使用投影到理论值域 R(A) 的方法，对于弹性问题，可由六个刚体模式构建投影 P： \[Pv = \sum_{i = 1}^{6}\frac{(v, v_i)}{(v_i, v_i)}v_i\] 通过 P 求解投影系统 PAPu = Pb。另外，对于因 CT 扫描复杂微观结构的有限元离散化产生的弱悬挂单元导致的奇异性，可通过用人工软材料填充空隙有效消除。 ##### 1.4 数值实验 实验在名为 Hubert 的 Linux 工作站上进行，该工作站配备 8 个四核 AMD Opteron 8830/2.5GHz 处理器（共 32 核）、128GB DDR2 RAM 和由 8 个 15000 RPM SAS 驱动器组成的 RAID10 磁盘子系统，使用 Trilinos 10.8 和 Intel Cluster Studio XE 2011。 - **GEM 和 Trilinos 求解器的比较**： | 求解器 | #Sd | #It | T [s] | | ---- | ---- | ---- | ---- | | GEM - DD | 1 | 108 | 407.8 | | GEM - DD | 2 | 111 | 193.3 | | GEM - DD | 4 | 115 | 122.9 | | GEM - DD | 8 | 123 | 71.6 | | GEM - DD | 16 | 144 | 60.7 | | GEM - DD + CG | 1 | 140 | 737.5 | | GEM - DD + CG | 2 | 69 | 127.6 | | GEM - DD + CG | 4 | 65 | 66.1 | | GEM - DD + CG | 8 | 61 | 39.1 | | GEM - DD + CG | 16 | 61 | 34.0 | | Trilinos - ILU(Aztec) | 1 | × | - | | Trilinos - ILU(Aztec)