线性代数算法的自动化生成与优化

# 线性代数算法的自动化生成与优化 ## 1. 线性代数编译器的算法生成 在解决线性代数问题时，我们可以利用特定领域的编译器自动生成高性能算法。该编译器模仿人类专家的推理过程，将目标方程分解为一系列库支持的构建块。 ### 1.1 算法生成示例 编译器在无法找到适用的启发式方法来进行分解时，会探索多种可行的映射到构建块的方式。下面是几个典型的算法示例： #### chol - gwas 算法 ```plaintext Algorithm 2. chol - gwas 1 M := hΦ + (1 − h)I (scal - add) 2 LLT = M (potrf) 3 W := L−1X (trsm) 4 S := W T W (syrk) 5 GGT = S (potrf) 6 y := L−1y (trsv) 7 b := W T y (gemv) 8 b := G−1b (trsv) 9 b := G−T b (trsv) ``` #### qr - gwas 算法 编译器在分析过程中还会探索替代路径。例如，对于 $W$ 的分解，采用 QR 分解（LAPACK 中的 geqrf 例程），经过一系列简化后得到 qr - gwas 算法： ```plaintext Algorithm 3. qr - gwas 1 M := hΦ + (1 − h)I (scal - add) 2 LLT = M (potrf) 3 W := L−1X (trsm) 4 QR = W (geqrf) 5 y := L−1y (trsv) 6 b := QT y (gemv) 7 b := R−1b (trsv) ``` #### eig - gwas 算法 该算法利用了 GWAS 中 $M$ 的结构知识。通过对 $\Phi$ 进行特征分解（LAPACK 中的 syevd 或 syevr），经过一系列代数操作和映射，最终得到 eig - gwas 算法： ```plaintext Algorithm 4. eig - gwas 1 ZWZT = Φ (syevx) 2 D := hW + (1 − h)I (add - scal) 3 K := XT Z (gemm) 4 V := KD−1 (scal) 5 S := V KT (gemm) 6 QR = S (geqrf) 7 y := ZT y (gemv) 8 b := V y (gemv) 9 b := QT b (gemv) 10 b := R−1b (trsv) ``` ### 1.2 成本分析 编译器会对生成的算法进行成本分析，考虑不同场景下的计算复杂度。以下是三种算法在不同场景下的计算成本： | 场景 | qr - gwas | chol - gwas | eig - gwas | | --- | --- | --- | --- | | 单实例 | $O(n^3)$ | $O(n^3)$ | $O(n^3)$ | | 一维序列 | $O(n^3 + mpn^2)$ | $O(n^3 + mpn^2)$ | $O(n^3 + mpn^2 + mp^2n)$ | | 二维序列 | $O(tn^3 + mtpn^2)$ | $O(tn^3 + mtpn^2)$ | $O(n^3 + mpn^2 + mtp^2n)$ | 从成本分析可