多GPU有限元方法的性能评估

### 多GPU有限元方法的性能评估 在当今的科学计算领域，利用GPU进行高性能计算已经成为了一种趋势。本文将深入探讨一种多GPU支持的有限元方法，用于模拟电磁波传播，并对其性能进行评估。 #### 物理问题及其数值处理 我们考虑三维空间中异质线性各向同性介质的麦克斯韦方程组： \[ \begin{cases} \epsilon\partial_tE - \text{curl}H = -J \\ \mu\partial_tH + \text{curl}E = 0 \end{cases} \] 其中，\(\partial_t\) 表示时间导数，\(J(x, t)\) 是电流源项。这些方程设定在有界多面体域 \(\Omega \in \mathbb{R}^3\) 上。介电常数 \(\epsilon(x)\) 和磁导率系数 \(\mu(x)\) 随空间变化，且为时间不变的正函数。电流源项 \(J\) 是传导电流 \(J_{\sigma} = \sigma E\)（其中 \(\sigma(x)\) 表示介质的电导率）和与入射电磁场局部源相关的外加电流 \(J_s\) 之和。 我们的目标是在域 \(\Omega\) 中求解该系统，边界 \(\partial\Omega = \Gamma_a \cup \Gamma_m\)，并施加以下边界条件： - 在 \(\Gamma_m\) 上，\(n \times E = 0\)（金属边界条件） - 在 \(\Gamma_a\) 上，\(L(E, H) = L(E_{inc}, H_{inc})\)，其中 \(L(E, H) = n \times E - \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} n \times (H \times n)\)（吸收边界条件，采用Silver-Müller条件） 为了数值求解该系统，我们将域 \(\Omega\) 三角剖分为一组四面体 \(\tau_i\)，记为 \(T_h\)。对于给定的分区 \(T_h\)，我们在有限元空间 \(V_{p_i}(T_h)\) 中寻求近似解。采用不连续伽辽金方法，将电场和磁场局部近似为线性独立基向量场 \(\phi_{ij}\) 的组合。 通过点乘、积分和分部积分，我们得到局部弱形式： \[ \begin{cases} \int_{\tau_i} \phi \cdot \epsilon_i\partial_tE_i = \frac{1}{2} \int_{\tau_i} (\text{curl}\phi \cdot H_i + \text{curl}H_i \cdot \phi) - \frac{1}{2} \sum_{k \in V_i} \int_{a_{ik}} \phi \cdot (H_k \times n_{ik}) \\ \int_{\tau_i} \phi \cdot \mu_i\partial_tH_i = -\frac{1}{2} \int_{\tau_i} (\text{curl}\phi \cdot E_i + \text{curl}E_i \cdot \phi) + \frac{1}{2} \sum_{k \in V_i} \int_{a_{ik}} \phi \cdot (E_k \times n_{ik}) \end{cases} \] 将其改写为标量未知量形式： \[ \begin{cases} M^{\epsilon}_i \frac{dE_i}{dt} = K_iH_i - \sum_{k \in V_i} S_{ik}H_k \\ M^{\mu}_i \frac{dH_i}{dt} = -K_iE_i + \sum_{k \in V_i} S_{ik}E_k \end{cases} \] 其中，\(M^{\eta}_i\)（\(\eta\) 代表 \(\epsilon\) 或 \(\mu\)）是对称正定质量矩阵，\(K_i\) 是对称刚度矩阵，\(S_{ik}\) 是对称界面矩阵。 进一步将局部系统转换为全局系统： \[ \begin{cases} M_{\epsilon} \frac{dE}{dt} = SH + C_EE \\ M_{\mu} \frac{dH}{dt} = -S^TE + C_HH \end{cases} \] 最后，使用二阶蛙跳格式进行时间积分： \[ \begin{cases} M_{\ep