非线性控制回路与小卫星集群信息交互系统的研究

### 非线性控制回路与小卫星集群信息交互系统的研究 在控制理论和航天领域，非线性控制回路的稳定性分析以及小卫星集群信息交互系统的优化是两个重要的研究方向。本文将深入探讨这两个方面的相关内容，包括非线性控制回路的状态空间表示、稳定性评估，以及小卫星集群信息交互系统的规划模型和优化方法。 #### 非线性控制回路的状态空间表示与稳定性分析 在非线性控制回路的研究中，有一组重要的状态空间表示公式： \[ \begin{cases} \Delta\bar{\mathbf{x}}(k + 1) = \bar{\mathbf{M}}_r\Delta\bar{\mathbf{x}}(k) + \bar{\mathbf{N}}_r\Delta\bar{\mathbf{u}}(k) \\ \bar{y}(k) = \bar{\mathbf{C}}_r\Delta\bar{\mathbf{x}}(k) \end{cases} \] 其中，\(\bar{\mathbf{M}}_r\) 是一个 \(n_{\bar{x}} \times n_{\bar{x}}\) 的矩阵，\(n_{\bar{x}} = n_y + n_u + 2n_u\)，行索引 \(n_y + n_u\) 包含一行系数 \(\bar{a}_{xi}\)；\(\bar{\mathbf{N}}_r\) 是输入矩阵，在大多数单输入单输出（SISO）情况下，控制输入系数 \(\bar{a}_{ui}\) 通常等于 1。 对于 LNU - HONU 控制回路，系数 \(\bar{a}_{xi}\) 的计算方式如下： \[ \bar{a}_{xi} = C_i\left(\sum_{l = 0}^{n_y} w_l x_l\right) - \sum_{l = 0}^{n_u - 1} w_{n_y + 1 + l}r_0C_i(q(k - l)) \] 其中，\(C_i(q(k - l)) = \psi\xi(k - l)\)，\(\psi = f(\mathbf{v})\) 的定义为： \[ \psi = f(\mathbf{v}) = \begin{cases} \sum_{l = 0}^{p - 1} v_{l, p}, & p = \bar{x}_i \in \xi(k - l) \\ \sum_{j = p}^{n_{\xi}} \alpha_{p, j}v_{p, j}, & p = \bar{x}_i \in \xi(k - l) \end{cases} \] 且 \(\alpha_{p, j} = 1\)（\(\forall j \neq p\)），\(\alpha_{p, p} = 2\)。 然而，由于使用了高阶反馈控制器，上述表示在准确描述整个非线性控制回路的动态特性方面存在局限性。通过将 HONU 模型分解为其主要步延迟向量的内在关系，可以扩展用于具有反馈控制的 LNU。 扩展后的 LNU 形式为： \[ \tilde{y}(k) = w_0 + \sum_{j = i}^{n_y} w_j\hat{x}(k - j) + \sum_{j = 1}^{n_u} w_{j + n_y}\hat{u}(k - j) - r_0\sum_{j = 1}^{n_u} w_{n_y + j} \cdot q(\mathbf{v}, \hat{\mathbf{x}}(k - j), \hat{\mathbf{u}}(k - j)) \] 其中，\(\hat{\mathbf{x}}(k - 1) = [\tilde{y}(k - (n_y + n_u)) \ \tilde{y}(k - (n_y + n_u) + 1) \ \cdots \ \tilde{y}(k - 1)]^T\) 是内部状态变量向量，\(\hat{\mathbf{u}}(k - 1) = [d(k - (n_u + n_u)) \ d(k - (n_u + n_u) + 1) \ \cdots \ d(k - 1)]^T\) 是整个非线性控制回路的输入向量。 进一步可得： \[ \tilde{y}(k) = \sum_{i = 1}^{n_y} \hat{x}(k - i) \cdot \hat{a}_{xi} + \sum_{i = 1}^{n_u} \hat{u}(k - i)\hat{a}_{ui} + C_i(\mathbf{w}_0) \] 对于基于 LNU 的 HONU - MRAC 控制回路（\(\gamma \geq 1\)），系数 \(\hat{a}_{xi}\) 和 \(\hat{a}_{ui}\) 的计算公式如下： \[ \hat{a}_{xi} = \begin{cases} w_i - r_0\sum_{j = 1}^{n_u} w_{n_y + j} \cdot C_i(q(k - j)), & i = 1, 2, 3, \cdots, n_y \\ - r_0\sum_{j = 1}^{n_u} w_{n_y + j} \cdot C_i(q(k - j)), & i = n_y + 1, \cdots, n_y + n_u \end{cases} \] \[ \hat{a}_{ui} = \begin{cases} w_{n_y + i} - r_0\sum_{j = 1}^{n_u} w_{n_y + j} \cdot C_i(q(k - j)), & i = 1, \cdots, n_u \\ - r_0\sum_{j = 1}^{n_u} w_{n_y + j} \cdot C_i(q(k - j)), & i = n_u + 1, \cdots, n_u + n_u \end{cases} \] 其中，算子 \(C_i(\cdot)\) 用于计算元素 \(\hat{x}_i\) 或 \(\hat{u}_i\) 的系数之和，\(\hat{x}_i, \hat{u}_i \in q(k)\)。 从上述关系可以看出，具有 HONU 反馈控制器的 LNU 的分解多项式结构产生了以下状态空间表示： \[ \begin{cases} \hat{\mathbf{x}}(k) = \hat{\mathbf{M}}_r \hat{\mathbf{x}}(k - 1) + \hat{\mathbf{N}}_r \hat{\mathbf{u}}(k - 1) + \mathbf{w}_0 \\ \tilde{y}(k - 1) = \hat{\mathbf{C}}_r \hat{\mathbf{x}}(k - 1) \end{cases} \] 与之前的表示不同，这里引入了局部动态矩阵（LMD）\(\hat{\mathbf{M}}_r\)，其维度为 \(n_{\hat{x}} = n_y + n_