各向异性测地线活动轮廓的拉格朗日算法及曲线演化的概率框架

### 各向异性测地线活动轮廓的拉格朗日算法及曲线演化的概率框架 在图像分割领域，各向异性测地线活动轮廓的拉格朗日算法以及曲线演化的概率框架是两种非常重要的方法。下面我们将详细介绍这两种方法。 #### 各向异性测地线活动轮廓的拉格朗日算法 为了实现更好的收敛性，我们提出了基于特定标量积的阈值系数： - $\alpha^+ = (g - g_y \cdot n)^+ \text{Id} + g_{yy}$ - $\beta^+ = \left(\partial_{nn}g + 2\kappa\partial_ng + (\kappa^2 - \kappa_i^2)g\right)^+$ 其中，$f^+ = \max(f, \varepsilon)$，在实现中，对于 $\beta^+$，$\varepsilon = 1$；对于 $\alpha^+$，$\varepsilon = \min(g)$，并且 $g$ 的设计使得海森矩阵函数 $g_{yy}$ 为半正定。通过忽略某些项，我们得到加权 $H^1$ 标量积： $\langle V, W\rangle_{H^1} = \langle \alpha^+ \cdot \nabla_{\Gamma} V, \nabla_{\Gamma} W\rangle + \langle \beta^+ V, W\rangle$ 与 $L^2$ 速度相比，这种加权 $H^1$ 标量积就像速度的预条件器，能使表面演化更平滑，且在更少的迭代中收敛。 ##### 拉格朗日离散化 之前开发的最小化算法处于连续数学领域，无法直接用于计算能量的数值最小值。因此，我们采用拉格朗日离散化方法： - **几何离散化**：将表面离散为一组单纯形，如二维中的多边形曲线线段和三维中的三角剖分表面。这种离散化紧凑高效，能显著减少变量数量。同时，我们还可以通过空间自适应来进一步调整表面表示的效率，在复杂区域增加节点，在平坦区域减少节点。具体操作包括使用几何一致的表面细化和粗化操作，如线段细化时在中间引入新节点并沿法线投影，三角形使用最长边二分法。 - **速度的有限元方法**：利用近似表面的单纯形离散化引入速度方程的有限元离散化。选择一组分段线性节点基函数作为测试函数，将几何关系写成弱形式，最终得到矩阵形式的离散方程。在二维中，矩阵由三对角块组成，可在 $O(m)$ 时间内求逆；在三维中，矩阵为稀疏矩阵，可使用稀疏直接求解器或共轭梯度算法高效求逆。 - **离散化的自适应**：离散化的质量关键在于准确性和效率。我们使用两个标准来判断准确性： - **几何标准**：在二维中用 $\max_{\Gamma_h^i} |\kappa||\Gamma_h^i|^2$ 测量几何离散化误差，在三维中用 $\max_{\Gamma_h^i} \frac{|n_i - n_j|}{h}|\Gamma_h^i|^2$ 测量。 - **数据标准**：比较局部积分的低阶和高阶求积近似。如果误差大则细化网格元素，误差小则粗化。 此外，形状梯度的近似质量也是一个关键的自适应标准。当出现步长选择失败时，我们会识别 $G$ 值最大的 $10\%$ 元素并进行细化，然后重启形状优化。在二维中，我们还支持拓扑自适应，如曲线的合并和分裂。 ##### 数值实验 我们在二维和三维的合成图像和真实图像上测试了算法。设置 $g(x, n) = \frac{1}{1 + |\nabla G_{\sigma} * I(x)|^2 / \lambda^2}$，其中 $\lambda = \frac{1}{4} \max |\nabla G_{\sigma} * I| > 0$，$\sigma = 2$ 像素。使用 $L^2$ 速度和加权 $H^1$ 速度进行能量最小化（最大迭代次数为 1000）。实验结果表明，$H^1$ 速度在所有情况下都表现更优，对图像分辨率更鲁棒，而 $L^2$ 速度的性能会随着分辨率的增加而下降。 以下是不同分辨率下 $L^2$ 和 $H^1$ 速度的实验数据对比： | 分辨率 | (1)