纹理处理中的FRAME模型详解

### 纹理处理中的FRAME模型详解 #### 1. 引言 在纹理处理领域，FRAME模型是一种融合了滤波理论和随机场模型优势的重要模型。它不仅整合了多种理论的优点，还能以统一的视角解读许多先前的纹理建模方法。本文将详细介绍FRAME模型的相关算法，包括Gibbs采样器和滤波器选择算法，并剖析其背后的原理和实际应用。 #### 2. Gibbs采样器算法 Gibbs采样器是实现FRAME模型的一个基础算法，其主要目的是让处理过程逐渐逼近目标分布。该算法类似于模拟退火算法，有助于绕过目标分布的局部模式，从而更有效地找到全局最优解。 以下是Gibbs采样器算法的具体步骤： 1. **初始化**：给定图像$I_s$，设置`flip_counter = 0`。 2. **循环操作**： - 从均匀分布中随机选择一个位置$s$。 - 对于$val$从$0$到$G - 1$（$G$为图像$I$的灰度级数），通过$p(I; \theta_K, S_K)$计算$p(I_s = val | I_{-s})$。 - 根据$p(val | I_{-s})$随机翻转$I_s$的值为$val$。 - `flip_counter = flip_counter + 1`。 3. **终止条件**：重复上述循环，直到`flip_counter = w × M × N`。 该算法的伪代码如下： ```plaintext Given image Is, flip_counter ← 0 Repeat Randomly pick a location s under the uniform distribution. For val = 0, ... , G − 1 with G being the number of grey levels of I Calculate p(Is = val | I−s) by p(I; K, SK). Randomly flip bold upper I Subscript s Baseline ← val under p(val | I−s). flip_counter ← flip_counter + 1 Until flip_counter = w × M × N. ``` #### 3. 滤波器选择算法 在使用上述算法学习到参数$\theta$后，需要选择合适的滤波器添加到集合中。一种直接的方法是搜索滤波器组$B$中所有$K$个滤波器的组合，并计算相应的$p(I; \theta_K, S_K)$，然后比较合成的纹理图像，选择最优的滤波器集合。但这种暴力搜索方法在计算上是不可行的，而且对于特定纹理，我们通常不知道$K$的值。因此，我们采用逐步贪心策略。 ##### 3.1 贪心策略原理 从$S_0 = \varnothing$（此时$p(I; \theta_0, S_0)$是均匀分布）开始，每次引入一个滤波器。我们的目标是找到一个能最大程度减少KL散度$KL(f || p(I; \theta))$的滤波器，这遵循最小熵原理。 假设在第$k$步，我们已经选择了$S_k = \{F(1), F(2), ... , F(k)\}$，并得到了最大熵分布： \[p(\mathbf{I}; \Lambda_k, S_k) = \frac{1}{Z(\Lambda_k)} \exp\left\{-\sum_{\alpha = 1}^{k} \langle \lambda^{(\alpha)}, H^{(\alpha)} \rangle\right\}\] 使得$E_{p(\mathbf{I}; \Lambda_k, S_k)}[H^{(\alpha)}] = f^{(\alpha)}$，对于$\alpha = 1, 2, ... , k$。 在第$(k + 1)$步，对于每个滤波器$F^{(\beta)} \in B / S_k$，我们定义$d(\beta)$为$E_{p(\mathbf{I}; \Lambda_k, S_k)}[H^{(\beta)}]$和$f^{(\beta)}$之间的距离，即： \[d(\beta) = D\left(E_{p(\mathbf{I}; \Lambda_k, S_k)}[H^{(\beta)}], f^{(\beta)}\right)\] 直观上，$d(\beta)$越大，说明$F^{(\beta)}$携带的信息越多，因为它反映了$p(I; \theta_k, S_k)$和$f(I)$之间的较大差异。因此，我们选择具有最大距离的滤波器，即： \[F^{k + 1} = \arg \max_{F^{(\beta)} \in B / S_k} D\left(E_{p(\mathbf{I}; \Lambda_k, S_k)}[H^{(\beta)}], f^{(\beta)}\right)\] ##### 3.2 KL散度和熵的关系 KL散度$KL(f || p)$定义为： \[KL(f || p) = E_f\left[\log \frac{f(\mathbf{I})}{p(\mathbf{I})}\right]\] 它衡量了数据分布$f$和模型分布$p$之间的“距离”。我们希望选择下一个滤波器，使得$KL(f || p(I; \theta))$的减少量最大，即最大化： \[D\left(E_{p(\mathbf{I}; \Lambda_{k + 1}, S_{k + 1})}[H^{(\beta)}], f^{(\beta)}\right) = KL(f || p(\mathbf{I}; \Lambda_k, S_k)) - KL(f || p(\mathbf{I}; \Lambda_{k + 1}, S_{k + 1}))\] 通过一系列推导，可以得到： \[KL(f || p(\mathbf{I}; \Lambda_k, S_k)) - KL(f || p(\mathbf{I}; \Lambda_{k + 1}, S_{k + 1})) = KL(p(\mathbf{I}; \Lambda_{k + 1}, S_{k + 1}) || p(\mathbf{I}; \Lambda_k, S_k)) = \text{entropy}(p(\mathbf{I}; \Lambda_k, S_k)) - \text{entropy}(p(\mathbf{I}; \Lambda_{k + 1}, S_{k + 1}))\] 这表明我们要选择下一个滤波器，以最大程度减少最大熵模型的熵。 ##### 3.3 距离度量简化 为了简化距离度量，我们将