进化算法：约束处理、多目标优化与不确定适应度函数

### 进化算法：约束处理、多目标优化与不确定适应度函数 在优化问题中，约束条件是普遍存在的，因此在遗传算法中妥善处理约束是一个重要的课题。同时，现实世界中的优化问题大多具有多个相互冲突的目标，这就涉及到多目标优化。此外，适应度函数在实际应用中往往存在不确定性。下面将详细探讨这些方面。 #### 1. 约束处理 在优化问题里，线性约束通常包含等式约束和不等式约束。以最大化函数 \( f(X_1,X_2, ... ,X_n) \) 为例，常见的约束有以下几种： - **定义域约束**：对于 \( i = 1,2, ... , n \)，有 \( a_i \leq X_i \leq b_i \)，其中 \( a_i \) 和 \( b_i \) 分别是参数的下界和上界。比如在优化高斯模糊隶属函数的参数时，高斯函数的中心值就会有定义域约束。再假设要从一批带有标识编号的传感器中挑选三个传感器，且这些传感器要能检测特定目标。如图 1 所示，只有 10 个传感器能检测到目标，那么只有这些传感器是合法的选择。 - **等式约束**：\( Ax = b \)，其中 \( x = (X_1, ... ,X_n) \)，\( A = (a_{ij}) \)，\( i = 1,2, ... ,n \)，\( j = 1,2, ... , m \)，\( m \) 是方程的数量，\( b = (b_1 , ... , b_m) \)。 - **不等式约束**：\( Cx \leq d \)，其中 \( x = (X_1, ... ,X_n) \)，\( C = (C_{ij}) \)，\( d = (d_1, ... ,d_l) \)，\( i = 1,2, ... , n \)，\( j = 1,2, ... , l \)，\( l \) 是不等式的数量。 针对这些约束，有以下几种处理方法： - **惩罚函数法**：将等式和不等式约束视为惩罚函数的一部分，当约束被违反时，惩罚函数会发挥作用。但如果大部分被评估的个体都不满足约束条件，这种方法会使遗传算法效率变得很低。 - **多目标优化法**：把约束当作进化算法的一个目标。不过，当约束数量较多时，这种方法会变得复杂。 - **修复算法**：可以对不可行解进行修正以满足约束条件。例如在优化 \( f(X_1, X_2) \) 时，有等式约束。由于变异，\( X_1 \) 变为 \( X_1 + c \)，为满足约束，若 \( X_2 - c \) 仍在 \( X_2 \) 的定义域内，则将 \( X_2 \) 修改为 \( X_2 - c \)。但修复算法具有很强的问题特异性，对于复杂问题会变得非常复杂。 - **融入先验知识**：将关于约束的先验知识融入遗传算子中，这样在进化过程中只会生成有效的解。 此外，对于特定问题还可以开发专门的方法。以目标跟踪的传感器自组织为例，假设有 50 个传感器随机分布在给定区域，传感器的检测范围是半径为 \( R \) 的圆形，只有部分传感器能检测到区域内移动的目标。对于仅测向传感器，至少需要三个传感器才能确定目标位置。为避免遗传算法生成无效解，可对能检测目标的传感器重新编号。如下表所示： | 传感器原始编号 | 67 | 56 | 32 | 23 | 5 | 78 | 99 | 85 | 92 | 10 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 传感器新编号 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | #### 2. 多目标进化 现实世界中的大多数优化问题都有多个目标，且这些目标通常相互冲突。在这种情况下，就涉及到帕累托最优的概念。在介绍帕累托最优之前，先了解一下帕累托支配的概念。 - **帕累托支配**：对于最小化问题，向量 \( u = (U_1, ... , U_n) \) 支配向量 \( v = (V_1, ... , V_n) \) 当且仅当对于所有 \( i \in \{1, ... n\} \)，有 \( U_i \leq V_i \)，并且存在 \( i \in \{1, ... ,