K近邻算法的两种实现：分层聚类KNN与KDtree KNN

K近邻算法（K-Nearest Neighbors, KNN）是一种基本分类与回归方法。由于其简单、有效、易于理解，被广泛应用于机器学习的各个领域。本文将详细介绍KNN算法的基本概念、分层聚类KNN和KDtree KNN的实现方法以及在Matlab中的应用。 ### K近邻算法基本概念 KNN算法的核心思想是“物以类聚”，即一个对象的分类取决于与它最相近的K个邻居的类别。这里，“近邻”是通过某种距离度量来确定的，常见的度量方法有欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离等。算法的关键步骤包括： 1. 计算测试样本与训练集样本之间的距离。 2. 根据距离大小进行排序，并选出最近的K个样本。 3. 根据这K个样本的类别进行投票，得到最常见的类别作为测试样本的预测类别。 ### 分层聚类KNN 分层聚类（Hierarchical Clustering）是一种无监督学习方法，通过不断合并或分割数据来构建一个层次的簇的集合。应用在KNN中，分层聚类KNN可以通过以下步骤实现： 1. 构建一个距离矩阵，记录训练集中每个样本对之间的距离。 2. 每次选择距离最小的样本对进行合并，形成一个新的簇。 3. 更新距离矩阵，重新计算新形成的簇与其它样本或簇之间的距离。 4. 重复步骤2和3，直到构建完成整棵树。 5. 对于测试样本，从树的根节点开始，根据距离选择路径，直到达到树的叶节点。 6. 叶节点中包含K个最近的邻居，根据这些邻居的类别进行投票。 在Matlab中实现分层聚类KNN，可以利用其内置函数`linkage`和`cluster`来构建和访问分层聚类树。 ### KDtree KNN KDtree是一种空间划分的数据结构，用于存储K维空间中的点。它通过递归方式将空间划分为若干个子空间，每个节点代表一个划分的维度和切分面。KDtree KNN的实现主要基于以下步骤： 1. 构建KDtree：从所有数据点中选取中位数作为根节点，并以此切分空间，然后递归地在子空间中继续构建树。 2. 查询最近邻：从根节点开始，根据测试样本与当前节点的切分面的距离，决定沿着左子树还是右子树进行搜索。 3. 调整搜索方向：如果测试样本在切分面的一侧距离大于另一侧，则应该只在另一侧继续搜索。 4. 继续搜索直到找到最近邻或者遍历了所有可能的节点。 5. 在搜索过程中记录下距离测试样本最近的K个点。 6. 根据这K个最近邻的类别进行投票。 在Matlab中实现KDtree KNN，虽然没有直接的内置函数，但是可以通过编程构建KDtree，并实现高效的最近邻搜索算法。 ### KNN在Matlab中的实现 在Matlab中，虽然没有直接的函数来实现KNN，但是可以利用其强大的数学和矩阵计算能力来实现上述算法。Matlab中的`pdist`函数可以计算样本间的距离矩阵，而`squareform`函数可以将距离矩阵转换为向量形式，方便操作和存储。对于分层聚类KNN，可以使用`linkage`函数构建分层聚类树，使用`cluster`函数进行聚类。KDtree的构建和搜索则需要更多的编程工作，但Matlab的矩阵运算特性可以大幅提高效率。 ### 结语 K近邻算法是一种基础但非常实用的算法，适用于多种场景，其分类与回归能力可通过不同的实现方法来优化。分层聚类KNN和KDtree KNN是两种常见的优化方法，能够提升KNN算法的效率和准确性。Matlab提供了实现这些算法所需的函数和工具，同时也有很大的自由度来构建更高级的优化算法。 需要注意的是，KNN算法对于大数据集的处理效率较低，因为它需要对每个测试样本计算所有训练样本的距离。此外，K的选择、距离度量的选择以及处理高维数据时的维数灾难（Curse of Dimensionality）也是在实际应用中需要注意的问题。