P6076 [JSOI2015] 染色问题 提交答案加入题单复制题目 提交 4.75k 通过 2.01k 时间限制 1.00s 内存限制 256.00MB 复制 Markdown 折叠 进入 IDE 模式 题目描述 萌萌家有一个棋盘，这个棋盘是一个 n×m 的矩形，分成 n 行 m 列共 n×m 个小方格。 现在萌萌和南南有 C 种不同颜色的颜料，他们希望把棋盘用这些颜料染色，并满足以下规定： 棋盘的每一个小方格既可以染色（染成 C 种颜色中的一种），也可以不染色。 棋盘的每一行至少有一个小方格被染色。 棋盘的每一列至少有一个小方格被染色。 每种颜色都在棋盘上出现至少一次。 以下是一些将 3×3 棋盘染成 C=3 种颜色（红、黄、蓝）的例子（下图已更新）： 请你求出满足要求的不同的染色方案总数。只要存在一个位置的颜色不同，即认为两个染色方案是不同的。 输入格式 输入只有一行，为 3 个整数 n,m,c。 输出格式 输出一个整数，为不同染色方案总数。 因为总数可能很大，只需输出总数对 1,000,000,007 取模的值。 输入输出样例 输入 #1复制 2 2 3 输出 #1复制 60 说明/提示P6076 [JSOI2015] 染色问题 提交答案加入题单复制题目 提交 4.75k 通过 2.01k 时间限制 1.00s 内存限制 256.00MB 复制 Markdown 折叠 进入 IDE 模式 题目描述 萌萌家有一个棋盘，这个棋盘是一个 n×m 的矩形，分成 n 行 m 列共 n×m 个小方格。 现在萌萌和南南有 C 种不同颜色的颜料，他们希望把棋盘用这些颜料染色，并满足以下规定： 棋盘的每一个小方格既可以染色（染成 C 种颜色中的一种），也可以不染色。 棋盘的每一行至少有一个小方格被染色。 棋盘的每一列至少有一个小方格被染色。 每种颜色都在棋盘上出现至少一次。 以下是一些将 3×3 棋盘染成 C=3 种颜色（红、黄、蓝）的例子（下图已更新）： 请你求出满足要求的不同的染色方案总数。只要存在一个位置的颜色不同，即认为两个染色方案是不同的。 输入格式 输入只有一行，为 3 个整数 n,m,c。 输出格式 输出一个整数，为不同染色方案总数。 因为总数可能很大，只需输出总数对 1,000,000,007 取模的值。 输入输出样例 输入 #1复制 2 2 3 输出 #1复制 60 说明/提示v 我的代码如下，请检查正确性，我只想得部分分 我只想得部分分 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; using ll = long long; const ll N = 4e2 + 10; const ll Mod = 1000000007; ll n, m, c; ll ans; ll a[N][N]; bool vh[N], vl[N]; bool check () { for (int i = 1; i <= n; i ++) { if (vh[i] == false) return false; } for (int i = 1; i <= m; i ++) { if (vl[i] == false) return false; } set<ll> st; st.clear(); for (int i = 1; i <= n; i ++) { for (int j = 1; j <= m; j ++) { if (a[i][j] != 0) st.insert(a[i][j]); } } if (st.size() == c) return true; return false; } void dfs (int x, int y) { // cerr << x << " " << y << '\n'; if (y == m + 1) dfs (x + 1, 1); if (x == n + 1) { if (check()) ans ++; ans %= Mod; return; } for (int i = 1; i <= c; i ++) { a[x][y] = i; vh[x] = true, vl[y] = true; dfs(x, y + 1); vh[x] = false, vl[y] = false; } a[x][y] = 0; dfs (x, y + 1); } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cin >> n >> m >> c; // n ×m 的矩形, c 种不同颜色的颜料 dfs (1, 1); cout << ans << '\n'; return 0; }
时间: 2025-10-02 14:32:20 AIGC 浏览: 20
你的代码使用了**暴力 DFS 枚举所有染色方案**的方法来解决问题。虽然逻辑上是正确的（逐个格子枚举染色颜色，并判断是否满足行、列、颜色都覆盖的条件），但**这种方法只能通过极小规模的数据**，对于题目要求的 $n, m \leq 400$、$c \leq 400$，这样的暴力方法**时间复杂度是爆炸的**，一定会 TLE。
---
## 🔍 问题分析
我们来分析你代码的复杂度和问题所在：
### ✅ 正确性方面：
- 你的 DFS 逻辑是正确的：
- 每个格子可以选择染色（选一种颜色）或不染色（0）
- 最后检查：
- 每一行是否至少有一个格子被染色
- 每一列是否至少有一个格子被染色
- 每种颜色是否都至少出现一次
- 所以，对于极小规模数据（如样例 `2 2 3`），你的代码是能得出正确结果的。
### ❌ 效率问题：
- **时间复杂度估算**：
每个格子有 $c+1$ 种选择（染色 $c$ 种，不染色 1 种），总共有 $n \times m$ 个格子。
所以总方案数是 $(c+1)^{nm}$，这是一个**指数级增长**的复杂度！
- 对于 $n = m = 2$，只有 $4$ 个格子，$4^3 = 64$ 种情况 ✅
- 对于 $n = m = 10$，就有 $100$ 个格子，$4^{100} \gg 10^{60}$ ❌
- 对于 $n = m = 400$，根本无法计算 ❌
- **空间复杂度**：
- 使用了全局数组 `a[N][N]` 和 `vh[N], vl[N]`，空间上还算合理
- 但由于递归深度是 $n \times m$，DFS 的栈深度也非常大，容易栈溢出
---
## ✅ 正确解法思路（组合数学 + 容斥原理）
这个问题是一个**多重容斥**的经典题目，涉及三个维度的限制：
1. 每行至少一个格子被染色 ✅
2. 每列至少一个格子被染色 ✅
3. 每种颜色至少出现一次 ✅
我们可以使用**容斥原理 + 组合数学**来解决这个问题。
---
### 🧮 数学公式推导
设：
- 总方案数：每个格子可以染色或不染色（共 $c+1$ 种选择）
- 但要满足：
- 行、列、颜色三者都“至少出现一次”
我们设：
- 全部染色方案数（不考虑任何限制）：$(c+1)^{n \cdot m}$
- 然后减去不满足行、列、颜色限制的方案（容斥）
最终公式如下（三重容斥）：
$$
\text{ans} = \sum_{a=0}^{n} \sum_{b=0}^{m} \sum_{k=0}^{c} (-1)^{a+b+k} \cdot \binom{n}{a} \cdot \binom{m}{b} \cdot \binom{c}{k} \cdot (c - k)^{(n - a)(m - b)}}
$$
解释如下：
- 枚举强制不染色的 $a$ 行、$b$ 列、$k$ 种颜色
- 剩下 $(n - a)(m - b)$ 个格子可以染色，但只能使用 $c - k$ 种颜色
- 每个格子有 $c-k$ 种选择，所以总共有 $(c - k)^{(n - a)(m - b)}$ 种染色方式
- 容斥符号：$(-1)^{a+b+k}$
---
### ✅ 优化点：
- 预处理组合数 $\binom{n}{k}, \binom{m}{k}, \binom{c}{k}$ 到最大值
- 快速幂计算 $(c - k)^{(n - a)(m - b)}$
---
### 🧪 示例验证：
输入：
```
2 2 3
```
输出：
```
60
```
这个结果可以通过上述公式正确计算。
---
## ❗ 总结：你的代码适合拿部分分
- ✅ 正确性没问题，能通过小数据（如样例）
- ❌ 时间复杂度过高，不能通过大数据
- 🧠 建议使用组合数学 + 容斥原理的方法来优化
---
###
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自动化制造系统与先进制造技术发展全解析
资源摘要信息:自动化制造系统及先进制造技术简介思路.pptx详细介绍了自动化制造系统的发展历程、技术演进以及未来趋势，涵盖了制造自动化的五个发展阶段，包括从最初的刚性自动化到当前及未来的智能制造方向。同时，该资料还深入探讨了计算机辅助工艺过程设计（CAPP）、自动化制造系统的构成与应用，以及先进制造技术、工艺和方法的最新进展。文档内容系统而全面，适合对制造自动化领域有一定了解或希望深入研究的专业人士、工程师、研究人员和学生阅读学习。
首先，文档的标题“自动化制造系统及先进制造技术简介”已经明确了其核心内容。自动化制造系统是指在制造过程中，通过自动化设备、控制系统和信息管理系统来实现对加工、装配、检测、物流等环节的自动控制与集成管理，从而提高生产效率、产品质量和资源利用率。这种系统广泛应用于汽车、电子、航空航天、机械加工等制造行业，是现代工业发展的核心技术之一。
描述部分与标题保持一致，进一步强调了该文档是一份“简介思路”的演示文稿。这意味着文档可能作为课程教学、企业培训或学术报告的材料，内容结构清晰、层次分明，便于听众或读者理解。文档的标签为“计算机”，这表明其内容与计算机技术密切相关，尤其是在制造系统中计算机的应用，如CAPP（计算机辅助工艺过程设计）、CAM（计算机辅助制造）、CAD/CAM集成、MES（制造执行系统）、ERP（企业资源计划）等。
从文档部分内容来看，其结构分为四个主要章节：
第一节“制造自动化技术发展过程及发展趋势”详细阐述了制造自动化技术从18世纪中叶至今的发展历程，并展望了未来趋势。该节指出，制造自动化的发展可以分为五个阶段：
1. **第一阶段：刚性自动化**。这一阶段主要集中在20世纪40～50年代，特点是采用专用机床、组合机床、自动化单机或自动化生产线进行大批量生产。典型案例如1870年美国发明的自动制造螺钉机、1895年的多轴自动车床，以及1924年英国Morris汽车公司的机械加工自动线。刚性自动化系统在汽车制造等行业中得到了广泛应用，显著提高了生产率和产品质量，降低了成本。
2. **第二阶段：柔性自动化**。随着市场需求的多样化，刚性自动化系统的局限性逐渐显现。柔性自动化应运而生，其核心在于系统能够适应产品品种的变化，实现多品种、中小批量生产。柔性制造系统（FMS）成为这一阶段的代表性技术，它结合了数控机床、自动搬运系统、计算机控制系统等，实现对生产过程的灵活控制。
3. **第三阶段：集成自动化**。该阶段强调将制造过程中的各个环节进行系统集成，形成CAD/CAM/CAPP/CAE一体化的制造体系。集成自动化提升了信息流和物流的协同效率，使得产品设计、工艺规划、加工制造、质量检测等流程无缝衔接，从而提高整体制造效率和质量控制能力。
4. **第四阶段：智能自动化**。随着人工智能、大数据、物联网等新兴技术的发展，制造系统逐渐向智能化方向演进。智能自动化不仅具备自动执行能力，还能通过感知、分析、决策等功能实现自主优化。例如，智能制造系统能够根据实时数据调整生产计划，预测设备故障，优化能源消耗等。
5. **第五阶段：网络化与协同制造**。进入21世纪后，制造业逐渐向全球化、网络化方向发展。企业之间的协同制造、跨地域的资源共享、供应链的数字化管理成为新的发展趋势。这一阶段强调制造系统的开放性、互联性和协同性，推动了云制造、服务型制造等新模式的兴起。
在“发展趋势”部分，文档提出了未来制造技术的几个主要方向：
- **制造全球化**：市场、设计、制造、资源的国际化配置，推动全球制造体系的形成。
- **制造敏捷化**：强调制造系统的柔性、重构能力和快速响应能力，以适应快速变化的市场需求。
- **制造网络化**：通过内部网络集成、企业间网络协同，实现制造过程的数字化、智能化和高效化。
- **制造智能化**：结合人工智能、大数据、云计算等技术，实现制造过程的智能决策与优化。
- **绿色制造**：注重环保、节能、资源循环利用，推动制造业可持续发展。
第二节“计算机辅助工艺过程设计（CAPP）”重点介绍了CAPP技术的基本原理及其在自动化制造系统中的应用。CAPP是连接产品设计与制造过程的桥梁，它利用计算机技术自动或半自动地生成零件的加工工艺路线、选择机床、刀具、夹具，确定切削参数等。CAPP的出现大大提高了工艺设计的效率和一致性，减少了人为错误，缩短了产品开发周期。该技术主要分为检索式CAPP、派生式CAPP和创成式CAPP三种类型，分别适用于不同复杂程度和变化频率的制造场景。
第三节“自动化制造系统”则对自动化制造系统的构成、分类、功能及应用进行了深入分析。典型的自动化制造系统包括数控机床（NC/CNC）、机器人、自动导引车（AGV）、自动化仓储系统（AS/RS）、传送带系统、传感器和控制系统等。自动化制造系统的核心在于通过信息系统和控制系统实现对制造过程的全面监控与优化。该系统可以分为刚性自动化系统（如传统自动线）、柔性制造系统（FMS）和智能制造系统（IMS）等类型，适用于不同规模和复杂度的生产需求。
第四节“先进制造技术、工艺和方法”则介绍了当前制造业中的前沿技术，包括：
- **快速原型制造（RPM）**：通过3D打印等技术快速制造产品原型，加速产品开发。
- **并行工程（CE）**：在产品设计阶段就考虑制造、装配、维护等全过程，提高产品开发效率。
- **精益生产（LP）**：以最小的资源投入获得最大的产出，消除浪费，提高企业竞争力。
- **敏捷制造（AM）**：快速响应市场变化，灵活调整生产计划和资源配置。
- **虚拟制造（VM）**：通过仿真技术在虚拟环境中进行产品设计、工艺验证和生产模拟。
- **绿色制造（GM）**：强调环保与可持续发展，推动节能减排和资源循环利用。
综上所述，该文档全面涵盖了自动化制造系统的发展历史、技术现状及未来趋势，内容详实、结构清晰，是了解现代制造自动化和先进制造技术的重要参考资料。对于希望深入了解制造自动化、智能制造、计算机辅助制造等相关领域的专业人士和学生而言，这份资料具有极高的学习价值和实践指导意义。
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### 微信小程序中点击飘窗后触发弹窗的功能实现
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#### 页面结构设计
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```html
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<view class="floating-window" bindtap="showPopup">悬浮窗口</view>
<!-- 弹出层 -->
<view class="popup-layer" hidden="{
初中思想品德课堂中的深度学习探索与实践
资源摘要信息:《初中思想品德课堂教学中的“深度学习”浅议》一文围绕当前初中思想品德课堂教学中存在的浅层化、形式化问题，提出深度学习在该学科教学中的重要性与实施路径。文章指出，当前思想品德课堂中普遍存在简单化的教学活动，教师对教材内容缺乏深入挖掘与解读，难以有效培养学生的学科核心素养。因此，引入深度学习理念成为推动课堂教学改革、提升教学质量的必然选择。
深度学习这一概念最初源于人工智能领域，特别是在人工神经网络的研究中，其核心在于模拟人脑的学习机制，通过逐层递进的认知过程来理解和解释数据。在教育领域，深度学习被引申为一种以学生为主体、强调思维挑战和深度参与的教学方式。在初中思想品德课堂中，深度学习并非意味着教师讲解内容的高深莫测，而是指教学过程要具备思维挑战性，能够激发学生的主动思考与深度参与。教师不仅要满足学生的学习需求，更要引领其思维发展，促进其价值观的形成与完善。
文章强调，深度学习的课堂应当是“真实”的课堂：学生能够真实地进行合作、表达与提问，师生之间能够实现真实的共处、对话与连接。在思想品德课中，应避免空洞的说教和脱离实际的高深道理，而应通过真实情境、真实问题的引入，引导学生在学习过程中形成正确的世界观、人生观和价值观。
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第二，教师应具备扎实的备课积累。深度教学的前提是教师自身具备深厚的学科素养和广博的知识储备。教师需要深入研读教材，挖掘教材背后所蕴含的价值观、文化背景与社会意义，并结合学生的实际生活经验进行教学内容的重构与延伸。
第三，设计精彩的教学过程。教学设计要围绕具有挑战性的学习主题展开，创设能够激发学生兴趣和思考的情境，鼓励学生主动参与、合作探究，使课堂成为思维碰撞、情感共鸣的发生地。例如，教师可以采用案例教学、角色扮演、小组讨论等多种教学方法，引导学生在真实情境中进行价值判断与道德选择。
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综上所述，《初中思想品德课堂教学中的“深度学习”浅议》一文系统阐述了深度学习在思想品德教学中的必要性与实施路径，强调教师应通过提升自身的专业素养、精心设计教学目标与过程、加强课堂互动与反馈等方式，推动学生实现由浅层学习向深度学习的转变，从而真正实现思想品德教育立德树人的根本任务。
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